tomatong2 학생에게

안녕하세요 ?

이 얼 입니다.

벡터해석학 단원에서 중요한 것은 선적분과 면적분단원입니다.

이 벡터해석학은 한 두 문제 정도 밖에 출제되지 않아서 출제 문항수는 적은 편이지만.

워낙에 중요한 부분이기 때문에 꼭 학습을 해야만 하는 아주 중요한 부분입니다.

특히 사람이름이 붙어 있는 그린정리. 가우스 발산정리. 스톡스정리등은 대표적인 시험 문제라고

할 수 있습니다.

우선 그린 정리는 폐곡선 위에서 정의된 벡터함수의 선적분을 다룰 때 나타납니다.

즉. 폐곡선 C 상에서 int_C  F * dr  (int_C 는 폐곡선 C 상에서의 적분기호. * 는 내적기호)

는 int_C P dx + Q dy = int_C (DQ/Dx - DP/Dy) dxdy 으로 계산합니다.(D 는 편도함수 기호로

사용했습니다.)

또한 가우스 발산정리는 항상 다음과 같이 사용합니다.

폐영역의 표면 S상에서의 면적분은 폐영역의 입체 T 상에서의 삼중적분으로 바꿀 수 있습니다.

즉. int int_S F * dS = int int int_T divF dxdydz

좀 더 쉽게 말하면 다음과 같습니다.

유한 폐영역으로 둘러싸인 입체의 표면 S 상에서 정의된 벡터 함수 F 의 면적분은

유한 폐영역 입체 T 전체상에서 정의된 발산 div F 의 3 중 적분값과 같다는 것입니다.

그러므로 가우스의 발산정리는 항상 유한 폐영역일 때만 사용합니다.

그리고 스톡스 정리는 그 개념 자체가 평면상에서 다루어졌던 그린 정리를 공간 곡면 위로

확대한 것입니다.

즉. 그린 정리가 평면 위의 폐곡선 상에서의 선적분이 폐곡선 내부에 있는 평면영역 R 상에서의

DQ/Dx - DP/Dy 함수의 이중적분이었다면. 스톡스 정리는 공간 곡면 S 상의 폐곡선 C 상에서의

선적분이 곡면 S 상에서의 curl F * n 함수의 이중적분과 같다는 정리입니다.

이 때. 스톡스 정리는 면적분을 선적분으로 또는 선적분을 면적분으로 바꿔서 계산할 수 있음을

보여 주고 있습니다.

면적분을 선적분으로 바꿔서 계산하는 경우는 주로 폐곡선에 대한 벡터표현이 쉬운 경우에 주로

사용하며. 선적분을 면적분으로 바꿔서 계산할 경우는 주로 폐곡선의 벡터 표현이 쉽지 않거나 또는

폐곡선의 벡터 표현이 어느 하나로 표현되지 않고 여러 개의 폐곡선들의 합집합으로 나타날 경우에

주로 사용합니다.

이제 이러한 차이점을 잘 숙지한 후에 다시 교재의 문제들을 풀어본다면 분명하게 구별할 수 있으리라

생각합니다.

열심히 공부하세요.

Have a nice day !!!

p.s. 앞으로 학습 질문은 블로그에 글을 남겨 주기 바랍니다.